在平等与效率之间

赵南元

100084清华大学自动化系

zhaony@mail.tsinghua.edu.cn

摘要：本文讨论了平等与效用曲线凸凹性的关系，给出凹性效用曲线的实例，从正反两方面给出了平等概念的效用主义解释，从而得到在效用最大化这一共同基础上讨论平等与效率的可能性，并证明在平均主义和自由主义之间存在着效用最大化的平等效率均衡点。同时给出社会不平等容量的定义，讨论了不平等容量与社会富裕程度的关系。

  1. 引言

    2. 厉以宁认为：“效率与公平的关系是经济学伦理问题研究的重要课题。如果能把二者之间的关系讲清楚了，那么可以认为，经济学伦理问题的研究就前进了一大步。但这种关系确实难倒过不少经济学家，要讲清楚这种关系远不是容易的事。”[1]

    效率与平等的关系是伦理学与经济学等领域中受到普遍关注的问题，二者都是人们追求的理想，但看起来又不可兼得。根据对二者重视程度的不同，在分配原则上存在着平均主义、按需分配、按贡献分配、按劳分配等各种主张；而在对于平等的理解上，也存在着收入平等、机会平等之类的不同观点。但现实可行的原则并不完全满足其中的任何一个，而是这些原则的不同程度的综合。这种综合是否存在最佳点，则是本文要讨论的问题。

  2. 效用函数

    3. 本文所采用的效用函数的概念与经济学中相应概念是一致的，指效用与价值（交换价值）的关系。用

    （1）

    来表示，其中U是效用，V是交换价值。效用函数满足以下条件：

    （2）

    （3）

    没有上界 （4）

    满足上述条件的函数是非常多的，本文采用对数函数作为效用函数的一个实例：

    （5）

    但所得到的重要结论对于所有满足上述条件的效用函数都适用。

  3. 平等的效用最大化解释

当分配满足下列条件时：

  1. 总量固定（不考虑分配影响产量）

  2. 所有个体具有相同效用函数

  3. 效用函数为凸性（
）

可以证明，总效用最大即帕雷托最优的分配是绝对平均主义的分配。这是一个广为人知的事实。本文的意图在于说明平等的概念不应被看作一个初始的形而上学概念，而是从追求最优的效用主义原则推导出来的。对于说明这一点，以上事实还显得说服力不足，反对者可以认为平等与最优的一致是一种巧合而非必然。（平等作为一种理想概念的起源也可以用其他模型解释。例如，可以考虑一群理性人在组成社会时制定初始契约，如果每个人都反对平等而认为自己应该占优势，就不可能达成协议，最终可能的妥协点只能是平等。）为此下面给出一种反方向的论证。

当上述条件3改为

3’，效用函数为凹性（ ）

时，绝对平均分配仍为极值点，但由于效用函数的凹性，该极值点不是极大值而是极小值点，这意味着越偏离平等则效用越高，极端不平等的分配才是最佳的分配。

那么在现实中是否存在凹性的效用函数呢？虽然人在粮食、货币等基本需求方面的效用函数多数是凸性的，满足边际效用递减律，具有饱和特性，但也存在着一些需求，其效用函数是凹性的。例如收藏的需求，往往是藏品越多则收藏癖越强，越想得到更多的收藏品，其边际效用是递增的。再例如对投资家而言，在他的能力范围之内，资本的增加并不导致投资收益下降，反而可能有所增加（长袖善舞，多财善贾）。在科研领域也存在类似的马太效应，成果越多，越能获得资助，因此又越能出成果。对这样一些需求而言，平均主义就不受欢迎。因此，一个“朱门酒肉臭，路有冻死骨”的社会，没有人会不谴责；而对于奇石收藏家拥有很多美丽的石头，而别人一块也没有，谁也不认为有什么不公平；用于消费的个人收入普遍采用累进税制，而在投资或生产领域则都是固定税制；科研经费通常也是滚动方式优于撒胡椒面。以上事实从正反两面说明，平等的要求源于效用最大化的要求和效用函数的凸性。

  1. 社会的不平等容量

由于平均分配是分配效用的最佳点（极大值点），所以不平等的分配必然造成对最佳点的偏离，使总效用下降，造成不平等损失。不平等损失产生于效用函数的凸性，即由于不平等而多得的一方的效用增加小于少得一方的效用减少。其程度可定义为不平等损失L：

（6）

当效用函数为凸性时，，负值表示一种损失。当效用函数如式（5）的对数函数且时，可以求得

（7）

不平等所造成的损失越小，社会所能容忍（容纳）的不平等程度越大。把社会对不平等的容量定义为不平等损失的倒数的绝对值

（8）

则当效用函数为对数函数时，

（9）

由于总效用在平均分配点取极值，一阶导数为零，故可以看成是总效用函数在极值点的曲率半径。

由式（9）可知，随着社会富裕程度的增加，不平等容量也会增加， 由此可以说明“让少数人先富起来”的政策为什么是可行的，也从一个角度解释库兹涅茨倒U假说中不平等随经济增长而上升的左半部分。

社会不平等容量增加并不意味着社会应该是不平等的，无论如何不平等也是一种损失。只有当不平等带来的效益大于其损失时，不平等才是合理的。

五、平等与效率的均衡点

平等具有可量化的效用这一结论，使我们有可能在平等与效率之间寻找一个最佳的折衷方案。即在平等与效率的综合效用曲线上寻找一个极大值，以确定能使社会总效用达到最大的均衡点。

假定一种不平等程度的度量G（例如基尼指数），社会总效用U可以看成是可供分配的生产总值V和不平等程度G的函数。即：

(10)

同时，假定生产总值也是的函数：

（11）

由此可以求得取极值时有：

（12）

解上述方程可求出使公平与效率综合最佳的不平等程度。

我们用一个简单的例子说明方程（12）的解的大致位置。假定效用函数为单调上升凸函数，则式（10）如图1所示：

U V1<V2<V3 V U

V3

V2

V1

 0 1 0 G0 1 0 G1 G0 1

图1 图2 图3

图2表示式（11），其根据是，绝对平均主义产生低效率，而随不平等程度增加效率上升，在处达到最大值，然后下降，理由是极端的不平等（低收入者不能正常生存）也会导致生产效率下降。由此可以看出这个函数也是凸性的，即

（13）

在式（12）中，在处由于所以此时，而在处，由于，故，在各函数一阶导数连续的条件下，可知方程（12）必存在解，其位置在0和之间，即图3的处。

  1. 讨论

    1. 关于效用函数

      2. 本文采用对数函数作为效用函数，与通常教科书中略有不同，主要是不满足的条件。效用取正负值的意义可以这样考虑：效用为正意味着需求得到满足、获得愉快，效用为负值则意味着窘迫和痛苦。实际上这个效用函数可以由对数线性型效用函数[2]推导得出：

      （14）

      两边求对数，令得到

      （15）

      由于讨论分配平等时不必考虑具体消费情况，只需考虑货币收入的效用即可，此时i只取一个，x代表货币形式的收入。忽略系数A（令A=1），就可以得到式（5）的效用函数。

      之所以取对数，是考虑一个生理学的事实：人的视觉、听觉等感觉器官都具有对数特性，例如对声音和光的强度和频率都是如此（所以音量以分贝为单位）。可以认为人的金钱感觉也具有对数特性，同样的100元钱在富人和穷人的眼里有不同的价值，但全财产增加或减少10%时富人和穷人的感觉相差不大。

      采用对数函数的一个问题是在原点处没有定义，原点附近函数趋向于负无穷大。对于原点的意义可以这样理解：人可以用于消费的资源为0，即处于完全无法生存的境地。负无穷大可以意味着生命无价的观点，但是由于其不可计算性而对于决策失去意义，我们甚至不能说牺牲一个人比牺牲十个人好。为此我们可以给式（15）加一个修正项：

      （16）

      调整我们可以设定生命的价值，或某种消费品的必要的程度。越小，表示该种事物越不可或缺。式（16）与LES(Linear expenditure system)即线性支出系统型效用函数[2]

      （17）

      取对数后的形式相似（只差一个符号），但式（17）的为第种消费品的最低需要量。当其实际获得量小于最低需要量时，式（17）没有定义，而式（16）不存在这个问题。

      虽然本文的主要结论对任何满足条件的效用函数都适用，但对数形式的效用函数可以体现对于平等的更大重视，计算出的最佳点位置更加偏向平等的一方。由于极度贫困的社会成员产生很大的负效用，使社会总效用下降，直接反映在对最佳点的偏离，不需要再为平等寻找非经济学的理由。

    2. 关于词语的选择

      3. 本文采用了“平等与效率”的说法，更常见的说法还有“效率与公平”、“自由与平等”之类。关于分配的公平有多种含义：平均分配、按需分配、按劳动时间分配、按劳动效益分配、按生产要素分配，都会被一些人看作是“公平”的。如果以基尼指数为坐标轴，则上述分配方式所产生的实际效果在坐标轴上呈从小到大的分布。与此有关的词语也可以相应地排列起来：均等（平均）、平等、公平、合理。这样一些模糊的词语可以支持从绝对平均主义到极端自由主义的任何主张。因此在讨论这一问题时需要事先明确“公平”的含义。本文采用“平等”的说法就是为了强调比较靠近“均等”的含义。

      大多数的经济学家看到绝对平均主义的缺陷，倾向于使用“公平”甚至“合理”的概念，从事实分配的平等转向机会的平等，具体体现为把公平、合理定义为按劳动效益分配或者按生产要素分配，其实现方法就是理想化的市场经济原理。结果是从公平出发导致自由主义经济学派，公平与效率在理论上取得完全的一致，此时社会运行在图2或图3的G0点上。

      公平与效率的对立完全消失的结论，显然与讨论公平与效率关系的初衷不符。为此，人们只得寻找其他理由来破坏理想状态，考虑一系列非经济学因素的影响。例如：机会平等在现实中的不可能、天赋差异无法消除、动力并非全部来自利益的假设、经济效率不一定来自收入分配差距的假设、经济意义上的合理性与社会意义上的合理性未必相符，等等。[1]

      对理想状态的破坏导致理论的冗长、模糊和随意性。由于理论的理想状态只能解释由市场进行的一次分配的合理性，却无法解释由政府进行的二次分配的必要性，消除收入过大差距的理由只能从非经济学的社会安定要求中寻找。为此，厉以宁通过详尽深入的分析，运用绝对收入满意度（平均富裕程度）和相对收入满意度（收入差距）等概念，得出了社会平均综合收入满意度临界值作为社会安定指标。其结论是，“富”与“均”对社会不安定的影响程度按如下顺序递增：1，富且均；2，富而不均；3，贫而均；4，贫且不均。但这个结论仍是定性而非定量的。

      本文所提出的方法采用简单可测度的“均等”概念，将“均”与“富”统一在“效用”的坐标轴上，仅用数理经济学的方法就可以得到和上述类似的结论，而且是定量的。只要考虑“均”的效用，就可以知道市场机制在理论上只能达到效率的极值点G0，而二次分配才可能达到效用的极值点G1。当社会较为贫困时，“不平等容量”下降，“不均”会导致社会总效用严重下降，破坏社会安定。或者说，社会安定取决于社会总效用。

    3. 经济学与伦理学的关系

平等与效率的关系从更深层次上看立足于伦理学与经济学的关系。目前多数人的看法是认为伦理学独立于经济学而存在，当我们设定一种应当追求的社会目标时，应当同时重视伦理学和经济学两方面的理由。但是由于伦理学本身的不成熟和形而上学性，往往使这种“二元论”的努力陷入理论上的无所建树或困境。例如阿瑟·奥肯在分析这类问题时，只能分析个案，找不到普遍的共性[3]；阿马蒂亚·森主张把伦理学导入经济学，但只有倡议，无法建立理论或给出实例，他也清楚地看到，“事实上，可以这样说，正是由于借助了经济学所使用的各种方法和应用程序，才使得一些伦理学问题得到了进一步的说明和解释。”[4]其原因在于，伦理学本身并没有形成自身的学界公认的理论基础，例如约翰·罗尔斯和罗伯特·诺奇克从相似的自由、平等、权利等概念出发，却得到截然相反的结论[5][6]。张维迎认为：“第一个需要纠正的概念是，经济学仅仅是有关经济问题的科学的说法并不准确。经济学是一种思维方式，或者更准确地讲，经济学是关于理性选择的科学(science of rational choices) (Myerson,1999)。这个定义实际上告诉我们经济学这种方法不限于研究某一领域，它是我们认识人们理性选择行为的一种方法。这个概念决定了我们后面为什么说经济学的许多方法、理论可运用到其他领域。”[7]按照这个定义，伦理学也是经济学的一部分。因为伦理学是研究该做什么和不该做什么的学问，这无疑应该是一种理性选择。当然，主张非理性的“伦理学家”大有人在，只不过“非理性”是成不了理论或学问的。

参考文献：

[1]厉以宁，经济学的伦理问题，三联书店，1995.5

[2]张金水，数理经济学��理论与应用，清华大学出版社，1998.3

[3]Arthur M. Okun, Equality and Efficiency, The Big Tradeoff, The Brookings Institution,1977

阿瑟·奥肯著；王奔洲等译，平等与效率：重大的抉择，华夏出版社，1999.1

[4]Amartya Sen, ON ETHICE & ECONOMICS, Blackwell Publishers Ltd, 1987,1988

阿马蒂亚·森著；王宇、王文玉译，伦理学与经济学，商务印书馆，2000

[5]John Rawls, A THEORY OF JASTICE, The Belknap Press of Harvard University Press,1971

约翰·罗尔斯著；何怀宏等译，正义论，中国社会科学出版社，1988

[6]Robert Nozick, ANARCHY, STATE AND UTOPIA, Basic Books,Inc. 1974

罗伯特·诺奇克著；何怀宏等译，无政府、国家与乌托邦，中国社会科学出版社，1991

[7]张维迎，经济学：理性选择的科学，读书，2000.6